Mandelbrot | combien mesure donc la côte de Bretagne ?

disparition de Benoît Mandelbrot, notre dette


On dira que les aspects esthétiques et mathématiques ressortissent de deux formes de poésie, que l’aspect nouveauté ressortit de l’histoire, que l’aspect pratique ressortit d’une prose utilitaire, et que l’aspect théorique ressortit de la grande prose tout autant que de la poésie. [...] Je me propose donc de commencer par survoler les poésies, parce que c’est plus simple, et de finir avec les grandes équations, parce que c’est plus compliqué.
Benoît Mandelbrot, Survol du langage fractal.

Combien de fois je me suis trouvé à raconter à des étudiants de littérature qui était Mandelbrot et pourquoi un franchissement de pensée a priori loin de nous, entièrement basé sur les mathématiques, pouvait faire basculer notre compréhension concrète du monde, et donc modifier radicalement notre point de vue de locuteur, y compris lorsque nous souhaitions examiner la genèse ou la structure de À la Recherche du temps perdu ou de l’oeuvre de Claude Simon ?

Les éléments biographiques, tout d’abord, si proches de ceux de Perec – à peine son puîné –, Mandelbrot né à Varsovie d’une famille juive lituanienne, et pour fuir le nazisme s’installant à Brive-la-Gaillarde où il sera mis en apprentissage dans une usine textile, pris en charge par un oncle rabbin, qui lui permettra d’accéder au lycée de Tulle, Corrèze aussi, puis 3 mois de prépa sous un faux nom à la catho de Lyon pour être reçu à 17 ans 1er au concours de Normale Sup, 3ème au concours de Polytechnique (voir lien Yun Sun Limet ci-dessous). Le système français évidemment complètement incapable d’accepter les objets de travail qui le préoccupent – les systèmes d’information –, puis ce stage chez IBM aux États-Unis où la question du bruit résiduel dans les signaux téléphoniques l’amènera à ses premières formulations de l’invariance d’échelle.

Ce qui fascine, depuis bien des années, c’est moins l’immédiate application d’un calcul mathématique à des pans entiers de notre connaissance, béton granulaire, mécanique des fluides, organisation des galaxies, typologie des feuilles d’arbre ou des reliefs de falaises, ni les algorithmes qui en découlent et leurs applications dans l’invention graphique, c’est ce saut d’un individu dans la connaissance, acceptant une notion d’arbitraire et de chaos (ou bien ouvrant à leur formalisation), et un principe d’universalité qui heurte immédiatement au concept de nature.

Benoît Mandelbrot s’est éteint vendredi, alors relire son livre Les objets fractals, voyager avec lui dans les cratères de la lune ou l’expansion des galaxies, revenir avec lui sur les notions de hasard, se retrouver à nouveau fasciné par ses sous-titres comme :
- Importance des "nouveaux" instruments que sont l’oeil et l’ordinateur
- Il est normal qu’un langage nouveau incorpore des caractères anciens
- Éloge des retours aux très vieux problèmes
- La prose fractale devant la confrontation entre l’homme d’action et le philosophe

... et tant d’autres. C’est beau comme du Descartes, c’est sans doute le même saut brutal en avant, mais qui n’ignore pas la dette à la langue, et reformule sans cesse ses enjeux en tant que défi de langue.

Relire alors le texte d’où tout procéda, cette approche de la mesure de la côte de Bretagne, dans toutes ses implications.

Lire belle approche de Yun Sun Limet dans remue.net : Mandelbrot, la complexité et l’enfance. Yun Sun remarquant que l’annonce de sa disparition a été mieux saluée par le New York Times qu’elle ne l’a été en France, mais bon, ça dure depuis 1944...

Et si la magie langagière ici tenait à ce donc dans le titre ?

 

Benoît Mandelbrot | Combien mesure donc la côte de Bretagne ?


Prenant un bout de côte maritime dans une région accidentée, nous allons essayer d’en mesurer effectivement la longueur. Il est évident que ladite longueur est au moins égale à la distance en ligne droite entre les extrémités de notre bout de côte. Que, si la côte était droite, le problème serait résolu dès ce premier pas. Enfin, qu’une vraie côte sauvage est extrêmement sinueuse, et par suite plus longue que ladite distance en ligne droite. On peut en tenir compte de diverses façons, mais, dans tous les cas, la longueur finale se trouvera être tellement grande, que l’on peut sans inconvénient la considérer comme étant infinie.

Quand, ensuite, nous voudrons comparer les « contenus » de côtes différentes, nous ne pourrons éviter d’introduire diverses formes de dimension fractale, jusqu’à présent propriété d’un petit sous-groupe de mathématiciens, qui l’avaient tous cru être sans application concrète possible.

Voici la première méthode : on promène, sur la côte, un compas d’ouverture prescrite η, chaque pas commençant là où le précédent avait fini. La valeur de η, multipliée par le nombre de pas, donnera une longueur approximative L(η). Si on répète l’opération, en rendant l’ouverture du compas de plus en plus petite, on trouve que ledit L(η) tend à augmenter sans cesse, et sans limite bien définie. Avant de discuter cette constatation, nous pouvons noter que le principe de la procédure ci-dessus consiste, d’abord, à remplacer l’objet qui nous concerne, qui est trop irrégulier, par une courbe plus maniable parce que arbitrairement adoucie ou « régularisée ». L’idée générale est donnée par une feuille d’aluminium dont on se serait servi pour envelopper une éponge, sans en suivre vraiment le contour.

Une telle régularisation est inévitable, mais elle peut également être effectuée d’autres façons. Ainsi, on peut imaginer qu’un homme marche le long d’une côte, en s’astreignant à s’en écarter au plus de la distance prescrite η, tout en suivant le plus court chemin possible, puis l’on recommence en rendant la distance maximale de l’homme à la côte la plus petite possible. Après cela, on remplace notre homme par une souris, puis par une mouche, et ainsi de suite. Encore une fois, plus près l’on veut se tenir de la côte, plus longue sera, inévitablement, la distance à parcourir.
Autre méthode encore, si l’on juge indésirable l’asymétrie que la deuxième méthode établit entre la terre et l’eau. On peut considérer que tous les points de l’une et l’autre, dont la distance est au plus égale à η. Donc on imagine que la côte est recouverte au mieux par un ruban de largeur 2 η. On mesure la surface dudit ruban, et on la divise par 2 η, comme si ce ruban avait été un rectangle.

Quatrième méthode : on imagine une carte, tracée par un peintre pointilliste, utilisant de gros « points » de rayon η, en d’autres termes on recouvre la côte au mieux, par des cercles de rayon au plus égal à η.
Il doit être clair déjà que, lorsqu’on rend η de plus en plus petit, toutes ces longueurs approchées augmentent. Elles continuent même d’augmenter quand η est de l’ordre du mètre, c’est-à-dire dénué de signification géographique.

Avant de se poser des questions sur la règle régissant cette tendance, assurons-nous de la signification de ce qui vient d’être établi. Pour cela, refaisons donc les mêmes mesures, en remplaçant la côte sauvage de Brest de l’an 1000 par la côte de 1975, que l’homme a domptée. L’argument ci-dessus s’appliquait autrefois, mais il doit aujourd’hui être modifié. Toutes les façons de mesurer la longueur « à η près » donnent encore un résultat qui augmente jusqu’à ce que l’unité η décroisse jusqu’à 20 mètres environ. Mais on rencontre ensuite une zone ou L(η) ne varie que très peu, et il recommence à augmenter que pour des η de moins de 20 centimètres, c’est-à-dire si petits que la longueur commence à tenir compte de l’irrégularité des pierres. Donc, si l’on trace un diagramme de la longueur L(η) en fonction du pas de η, on y voit aujourd’hui une sorte de palier, qui n’était pas présent autrefois. Or, à chaque fois que l’on veut saisir un objet qui ne cesse de bouger, il est bon de se précipiter dès qu’il s’arrête, ne serait-ce que pour un instant. On dira donc volontiers que, pour le Brest d’aujourd’hui, un certain degré de précision dans la mesure des longueurs des côtes est devenu intrinsèque.

Mais cet « intrinsèque » est tout à fait anthropocentrique, puisque c’est la taille des plus grosses pierres que l’homme peut déplacer, ou des blocs de ciment qu’il aime couler. La situation n’était pas très différente autrefois, puisque le meilleur η pour mesurer la côte n’était pas la taille de la souris ou de la mouche, mais celle d’un homme adulte. Donc, l’anthropocentrisme intervenait déjà, quoique de façon différente : d’une façon ou d’une autre, le concept, en apparence inoffensif, de longueur géographique n’est pas entièrement « objectif », et il ne l’a jamais été. Dans sa définition, l’observateur intervient de façon inévitable.

©Benoît Mandelbrot, Les objets fractals, Flammarion, 1975.

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1ère mise en ligne et dernière modification le 18 octobre 2010
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